Fréquence de coupure vs Bande passante : La relation dépend de l'ordre du filtre

Définitions d'abord

• Fréquence de coupure (f_c, f_-3dB) : Fréquence où la puissance chute à moitié (-3 dB) ou tension à 1/√2 de la valeur en bande passante.
• Bande passante (BP) : Largeur de la bande passante — typiquement f_sup - f_inf aux points -3 dB. Pour passe-bas : BP = f_c (puisque f_inf = 0).

Cas 1 : Filtres du premier ordre (pôle unique) — RC, RL

• Fonction de transfert : H(s) = 1 / (1 + s/ω_c)
• BP = f_c exactement (pour passe-bas).
• Pente : -6 dB/oct (-20 dB/déc).
• Phase à f_c : -45°.

Cas 2 : Filtres du second ordre — Sallen-Key, RLC, Biquad

Type filtre	Q / ζ	BP vs fc	Notes
Butterworth (maximalement plat)	Q = 0,707	BP = fc	-3 dB à fc par définition
Bessel (phase linéaire)	Q = 0,577	BP ≈ 1,27 fc	-3 dB à 1,27 fc ; fc définie différemment
Tchébychev (ondulation)	Q > 0,707	BP > fc	Ondulation bande passante → -3 dB à freq supérieure
Amorti critique (ζ=1)	Q = 0,5	BP ≈ 0,64 fc	Pas de dépassement, pente plus lente

Cas 3 : Filtres d'ordre supérieur (n ≥ 3)

• Constitués de sections 1er/2nd ordre en cascade.
• Fréquence -3 dB globale (f_c,globale) se décale vers le bas par rapport à f_c de section.
• Pour n sections Butterworth identiques : f_c,globale = f_c,section / (2^1/n - 1)^1/2.
• Exemple : Butterworth 4ème ordre (deux sections Q=0,707) → f_c,globale = 0,84 × f_c,section.

Filtres passe-bande / coupe-bande

• Fréquence centrale f₀ : Moyenne géométrique : f₀ = √(f_L × f_H).
• Bande passante : BP = f_H - f_L (aux -3 dB).
• Facteur de qualité : Q = f₀ / BP.
• Fréquences de coupure : f_L et f_H sont les deux points -3 dB — chacun est une « coupure ».

Règle pratique de conception

1. Spécifier BP requise (ou f_L, f_H) et penté de coupure (dB/oct).
2. Sélectionner type filtre (Butterworth, Tchébychev, Bessel, Elliptique) et ordre.
3. Calculer valeurs f_c de section depuis tables/logiciels (FilterPro, ADI Filter Wizard, MATLAB).
4. Simuler — vérifier que points -3 dB correspondent aux specs.

Analogie : La porte

• f_c = hauteur de la porte.
• BP = gamme de hauteurs qui passent.
• 1er ordre : Porte = une barre unique → BP = hauteur barre.
• Ordre supérieur : Porte a plusieurs barres, sommet courbé → gamme autorisée ≠ barre la plus haute.

Résumé

• Passe-bas, 1er ordre : BP = f_c.
• Passe-bas, 2nd ordre Butterworth : BP = f_c.
• Passe-bas, autres 2nd ordre : BP ≠ f_c (dépend Q/ζ).
• Ordre supérieur : BP < f_c,section (cascade décale coin vers le bas).
• Passe-bande : BP = f_H - f_L ; f_c non utilisé (utiliser f₀, Q).