Capacité canal Shannon-Hartley : bande passante 300 Hz, rapport S/B 3 dB
Calcul capacité canal
Le théorème Shannon-Hartley définit le débit maximal théorique sans erreur pour un canal de communication avec bruit blanc gaussien additif (AWGN).
Paramètres donnés
- Bande passante (B) = 300 Hz
- Rapport signal/bruit (SNR) = 3 dB
Étape 1 : Convertir SNR de dB vers rapport linéaire
SNR_linéaire = 10^(SNR_dB / 10) = 10^(3/10) = 10^0,3 ≈ 2,0
Un SNR de 3 dB signifie puissance signal égale puissance bruit (rapport = 2:1 en incluant le signal dans « 1+SNR »).
Étape 2 : Appliquer formule Shannon-Hartley
C = B × log₂(1 + SNR_linéaire)
C = 300 × log₂(1 + 2) = 300 × log₂(3)
log₂(3) = ln(3)/ln(2) ≈ 1,58496
C ≈ 300 × 1,58496 = 475,5 bits par seconde (bps)
Interprétation
- C'est la borne supérieure théorique — aucun schéma codage/modulation ne peut la dépasser
- Débits atteignables sont inférieurs dus pertes implémentation, surcharge codage, bruit non-AWGN
- Pour un téléscripteur (historique 45–75 bauds), 475 bps est généreux — systèmes réels utilisaient bien moins
Contexte pratique
| Paramètre | Valeur téléscripteur typique | Limite Shannon (300 Hz, 3 dB) |
|---|---|---|
| Taux symboles (bauds) | 45–75 bauds | N/A (taux symboles ≤ 2B = 600 bauds) |
| Modulation | FSK (2 tons) | Codes approchant capacité nécessaires |
| Codage | Aucun (Baudot 5 bits) ou parité simple | Codes modernes (LDPC, Turbo) approchent limite |
| Débit atteignable | 45–75 bps | 475,5 bps (max théorique) |
Hypothèses clés & Limitations
- Canal AWGN : Canaux réels ont fading, interférences, non-linéarités
- Synchronisation parfaite : Synchro porteuse, symbole, trame consomment overhead
- Longueur bloc infinie : Codes pratiques ont latence/complexité finies
- Pas contrainte bande passante au-delà B : Filtres réels ont pente
Note historique
Téléscripteurs (Teletype Modèle 33, etc.) opéraient à 45,45 ou 74,2 bauds sur lignes qualité voix (300–3400 Hz). Le chiffre 300 Hz suggère canal bande étroite (ex: radio HF, télégraphe sous-voix). À 3 dB SNR, communication fiable nécessite modes bande étroite robustes (PSK31, FT8, CW) — pas téléscripteurs 1960s.
Résumé
Capacité canal = 475,5 bps pour bande passante 300 Hz à 3 dB SNR. Représente limite mathématique absolue ; systèmes pratiques atteignent significativement moins. Calcul illustre pourquoi canaux bande étroite, faible SNR exigent codage sophistiqué pour approcher limites théoriques.