Période fondamentale de x(t) = 2cos(10t) + sin(4t)

Analyse signal : Somme de deux sinusoïdes

Donné le signal temps continu :

x(t) = 2cos(10t) + sin(4t)

Étape 1 : Identifier fréquences angulaires

• Terme 1 : 2cos(10t) → ω₁ = 10 rad/s
• Terme 2 : sin(4t) → ω₂ = 4 rad/s

Étape 2 : Calculer périodes individuelles

Période T = 2π / ω

• T₁ = 2π / 10 = π/5 secondes
• T₂ = 2π / 4 = π/2 secondes

Étape 3 : Trouver Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

La somme est périodique ssi T₁/T₂ est rationnel. La période fondamentale T₀ = PPCM(T₁, T₂).

Exprimez comme multiples rationnels de π :

• T₁ = (1/5)π
• T₂ = (1/2)π

PPCM fractions : PPCM(numérateurs) / PGCD(dénominateurs)

PPCM(1, 1) / PGCD(5, 2) = 1 / 1 = 1

Donc : T₀ = 1 × π = π secondes

Vérification

À t = π :

• cos(10π) = cos(0) = 1 → 2cos(10π) = 2
• sin(4π) = sin(0) = 0
• x(π) = 2 + 0 = 2 = x(0) ✓

Aucun T positif plus petit ne satisfait les deux : T₁ = π/5 requiert 5 cycles ; T₂ = π/2 requiert 2 cycles. PPCM = π.

Formule générale pour somme sinusoïdes

Pour x(t) = Σ A_k cos(ω_kt + φ_k) :

1. Calculez T_k = 2π/ω_k pour chaque terme
2. Si tous ω_k/ω₁ rationnels → périodique
3. T₀ = PPCM(T₁, T₂, ..., T_n)
4. Si un ratio fréquence irrationnel → apériodique

Perspective domaine fréquentiel

Transformée de Fourier : X(jω) = 2π[δ(ω-10) + δ(ω+10)] + jπ[δ(ω+4) - δ(ω-4)]

Composantes fréquentielles à ±10 rad/s et ±4 rad/s. Fréquence fondamentale ω₀ = PGCD(10, 4) = 2 rad/s. T₀ = 2π/ω₀ = π s. ✓

Réponse : La période fondamentale est π secondes (≈ 3,1416 s).