Qu'est-ce qu'une surface 3G ? Un concept de géométrie différentielle
En mathématiques — spécifiquement géométrie différentielle — une surface 3G (ou surface tridimensionnelle) fait référence à une variété de dimension deux plongée dans l'espace euclidien tridimensionnel (ℝ³). La notation « 3G » n'est pas standard ; le terme correct est surface dans ℝ³ ou 2-variété dans l'espace 3D.
Définition formelle
S ⊂ ℝ³ est un sous-ensemble où tout point p ∈ S a un voisinage homéomorphe à un disque ouvert dans ℝ². Équivalentement, elle peut être représentée localement comme :
- Explicite : z = f(x, y)
- Implicite : F(x, y, z) = 0 (avec ∇F ≠ 0)
- Paramétrique : r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
Exemples classiques
| Surface | Équation implicite | Forme paramétrique | Courbure gaussienne (K) |
|---|---|---|---|
| Sphère (rayon R) | x² + y² + z² = R² | R(sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) | K = 1/R² > 0 (Elliptique) |
| Plan | ax + by + cz + d = 0 | r(u,v) = p + u·a + v·b | K = 0 (Parabolique/Plate) |
| Cylindre (rayon R) | (x-a)² + (y-b)² = R² | (a+R cos u, b+R sin u, v) | K = 0 (Plate, développable) |
| Paraboloïde hyperbolique | z = x² - y² | (u, v, u² - v²) | K < 0 (Hyperbolique/selle) |
| Tore | (√(x²+y²)-R)²+z²=r² | ((R+r cos v)cos u, (R+r cos v)sin u, r sin v) | K = cos v / (r(R+r cos v)) (mixte) |
Classification par courbure
- Courbure gaussienne (K = κ₁κ₂) : Produit courbures principales. Intrinsèque (Theorema Egregium).
- K > 0 : Elliptique (sphère, ellipsoïde) — localement convexe.
- K = 0 : Parabolique (cylindre, cône, plan) — développable.
- K < 0 : Hyperbolique (selle, hyperboloïde) — forme selle.
- Courbure moyenne (H = (κ₁+κ₂)/2) : Moyenne courbures. Extrinsèque.
- H > 0 : Convexe (courbure vers l'extérieur).
- H = 0 : Surface minimale (film savon, caténoïde, hélicoïde).
- H < 0 : Concave.
Applications
- Infographie / CAO : NURBS, surfaces subdivision, traitement maillages.
- Modélisation solide : B-rep (représentation frontière) = ensemble surfaces 3G trimmées.
- Robotique : Détection collision, planification chemins sur variétés.
- Physique/Ingénierie : Contraintes/déformations coques, interaction fluide-structure, relativité générale (espace-temps comme variété pseudo-riemannienne 4D).
Note : En télécom, « 3G » signifie 3e génération sans fil. En géométrie, « surface 3G » n'est pas terminologie standard — probable confusion. Le terme correct est surface dans ℝ³ ou variété 2D dans espace 3D.