Systèmes de numération informatique : Binaire, Octal, Hexadécimal et Virgule flottante expliqués
Les ordinateurs traitent l'information باستخدام des systèmes de numération fondamentalement différents de la notation décimale humaine. Comprendre ces systèmes est essentiel pour la programmation, la conception matérielle, et la logique numérique.
Systèmes de numération positionnels
Tous les systèmes utilisent la notation positionnelle : valeur de chaque chiffre = chiffre × baseposition (le plus à droite = position 0).
Décimal (Base-10)
Chiffres : 0-9. Standard humain.
352₁₀ = 3×10² + 5×10¹ + 2×10⁰ = 300 + 50 + 2
Binaire (Base-2)
Chiffres : 0, 1. Fondement de toute logique numérique.
1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀
Bits (chiffres binaires) groupent en : quartet (4), octet (8), mot (16/32/64).
Octal (Base-8)
Chiffres : 0-7. Historique : PDP-8, permissions Unix early. Chaque chiffre octal = 3 bits.
732₈ = 7×8² + 3×8¹ + 2×8⁰ = 448 + 24 + 2 = 474₁₀
Hexadécimal (Base-16)
Chiffres : 0-9, A-F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Chaque chiffre hex = 4 bits. Standard pour adresses mémoire, codes couleur, code machine.
204F₁₆ = 2×16³ + 0×16² + 4×16¹ + 15×16⁰ = 8192 + 0 + 64 + 15 = 8271₁₀
Conversions
| De | Vers | Méthode |
|---|---|---|
| Binaire | Octal | Grouper 3 bits depuis droite |
| Binaire | Hex | Grouper 4 bits depuis droite |
| Octal/Hex | Binaire | Étendre chaque chiffre |
| N'importe | Décimal | Expansion positionnelle |
| Décimal | N'importe | Division répétée (entier), multiplication (fraction) |
Virgule flottante (Nombres réels)
Standard IEEE 754 : signe × mantisse × baseexposant
Précision simple (32-bit)
- 1 bit signe
- 8 bits exposant (biais 127)
- 23 bits mantisse (1 initial implicite)
- Étendue : ~±10±38, ~7 chiffres décimaux précision
Double précision (64-bit)
- 1 signe, 11 exposant (biais 1023), 52 mantisse
- Étendue : ~±10±308, ~15 chiffres décimaux
Exemple : 13,75 en IEEE 754 Simple
13,75₁₀ = 1101,11₂ = 1,10111₂ × 2³ Signe: 0 (positif) Exposant: 3 + 127 = 130 = 10000010₂ Mantisse: 10111000000000000000000 (1 initial implicite) Binaire: 0 10000010 10111000000000000000000 Hex: 0x415E0000
Valeurs spéciales
- Zéro : tous bits 0 (±0)
- Infini : exposant tout 1s, mantisse 0 (±∞)
- NaN : exposant tout 1s, mantisse ≠ 0
- Dénormalisé : exposant 0, mantisse ≠ 0 (underflow progressif)
Pourquoi ça importe
Les systèmes de numération sous-tendent : adressage mémoire, opérations bitwise, représentation couleur, protocoles réseau, formats fichiers, cryptographie, et calcul GPU. Maîtrise permet débogage efficace, optimisation, et programmation bas niveau.