Qu'est-ce qu'une convolution bidimensionnelle ?

La convolution est un concept du traitement du signal, qui désigne les opérations effectuées sur les signaux pour en extraire des données significatives. Les mathématiciens utilisent des techniques de convolution pour construire les signaux de sortie pour n'importe quel signal d'entrée aléatoire, en exploitant la réponse impulsionnelle fournie par le système. L'analyse fonctionnelle, le génie électrique, les probabilités et le traitement d'images et de signaux sont des domaines qui utilisent la convolution bidimensionnelle. La convolution représente une opération mathématique sur deux fonctions, produisant une troisième fonction résultant de la modification des fonctions originales.

Dérivation de la convolution 2D à partir de la 1D

Les convolutions bidimensionnelles sont les parties les plus gourmandes en temps d'une application. Les mathématiciens y parviennent en étendant le traitement mathématique d'une dimension à deux. Les convolutions 2D sont des extensions des convolutions 1D, où la convolution se produit dans les directions horizontale et verticale sur un espace bidimensionnel. En convolution 2D, la réponse impulsionnelle fournie par un système est appelée noyau (kernel) ou filtre.

Application d'une convolution 2D

Les mathématiciens généralisent la théorie de la convolution développée pour les signaux 1D à deux dimensions pour l'appliquer aux images. Ils traitent généralement ces deux dimensions séparément. Pour appliquer une convolution 2D au signal f(x, y), ils appliquent d'abord la transformée de Fourier pour la variable x en gardant y fixe, puis pour y en gardant x fixe. Ils obtiennent ainsi une fonction de deux variables de fréquence. Cependant, il n'est pas possible de décomposer les fonctions en deux dimensions en deux séquences séparées d'opérations 1D. Toute convolution 2D aboutit à une seule série, sauf si l'un des signaux d'entrée peut être séparé.

Convolution 2D en traitement d'image et de signal

Les applications de traitement d'image et de signal utilisent les techniques de convolution 2D. En traitement d'image, l'opérateur de convolution permet de modifier les caractéristiques de l'image, agissant comme un filtre : lissage, accentuation des contours, floutage, distorsion, élimination de bruits de différentes fréquences. En traitement de signal, les convolutions 2D aident à supprimer les parties inutiles du signal et à le diviser en plusieurs parties. Le traitement sismique utilise aussi la convolution 2D.

Convolution d'une image

Chaque image a deux dimensions, donc son traitement peut utiliser la convolution 2D. Lors d'une convolution d'image, les mathématiciens associent chaque pixel à un sous-ensemble de tableau de filtre contenant des éléments de filtre de même taille. Chaque étape de convolution traite les composantes de couleur de chaque pixel associé à un élément de tableau. Les éléments de filtre pondèrent chaque composante d'image correspondante. Après chaque étape, la position du filtre décale d'un cran, de même que les pixels correspondants de l'image d'entrée. Ainsi, la convolution de l'image entière s'effectue.