Physique résistance fil : Pourquoi le rayon au carré dicte la conductivité
La résistance d'un fil est inversement proportionnelle au carré de son rayon (R ∝ 1/r²). Doubler le rayon → ¼ de la résistance. Cette relation quadratique explique pourquoi le dimensionnement du conducteur est le levier le plus puissant pour réduire les pertes.
La formule fondamentale
R = ρ · L / A
- R = Résistance (Ω)
- ρ (rho) = Résistivité matériau (Ω·m) — propriété intrinsèque (Cu : 1,68×10⁻⁸, Al : 2,82×10⁻⁸ @ 20 °C)
- L = Longueur (m)
- A = Section transversale (m²) = πr²
En substituant A : R = ρL / (πr²) → R ∝ 1/r²
Conséquences pratiques
| Changement | Ratio rayon | Ratio section | Ratio résistance | Capacité courant (Ampacité) |
|---|---|---|---|---|
| 14 AWG → 12 AWG | 1,12× | 1,26× | 0,79× | 15 A → 20 A (+33 %) |
| 12 AWG → 10 AWG | 1,12× | 1,26× | 0,79× | 20 A → 30 A (+50 %) |
| 10 AWG → 8 AWG | 1,26× | 1,59× | 0,63× | 30 A → 40/50 A (+33–67 %) |
| Double diamètre (ex. 2× 10 AWG parallèles) | 2× | 4× | 0,25× | ~2× Ampacité (avec déclassement) |
Pourquoi cela guide la conception électrique
- Chute tension (Vd = I·R) : Diviser R par 2 (en augmentant r de √2 ≈ 1,41×) divise la chute de tension par 2. Critique pour longues lignes, démarrage moteurs, électronique sensible.
- Perte puissance (Pperte = I²R) : Diviser R par 2 divise la génération chaleur par 2. Rendement ↑, température ↓, vie isolation ↑.
- Ampacité (NEC 310.16) : Section plus grande → plus de surface pour dissiper chaleur → courant admis plus élevé. Mais pas linéaire — dissipation chaleur ∝ surface (∝ r), tandis que génération chaleur ∝ I². Résultat : Ampacité ∝ r^1,5 environ.
- Effet de peau (AC) : À 60 Hz, profondeur peau Cu ≈ 8,5 mm. Pour r > 8,5 mm (> 4/0 AWG), courant se concentre près surface → section effective < πr² → R_ac > R_dc. Solution : Conducteurs torsadés, segmentés, ou creux.
- Compromis Coût/Poids : Cu : 8–10 $/kg. Al : 2–3 $/kg mais 1,6× section nécessaire. Gros départs souvent Al pour économiser poids/coût.
Exemple réel : Entrée de service 100 A
- Cu : 4 AWG (r ≈ 2,03 mm, A = 21,2 mm²) → R = 0,815 Ω/km. 15 m parcours → 0,0124 Ω boucle → Vd @ 100 A = 1,24 V (1 % @ 120 V). Bon.
- Al : 2 AWG (r ≈ 2,53 mm, A = 33,6 mm²) → R = 0,86 Ω/km (R similaire, r plus grand). Plus léger, moins cher.
Au-delà du rayon : Le tableau complet
- Longueur (L) : R ∝ L. Double longueur = double résistance. Pas d'échappatoire.
- Matériau (ρ) : Ag (meilleur) > Cu > Au > Al > Fe > NiCr (nichrome). Cu est le sweet spot.
- Température : R = R₂₀[1 + α(T-20)]. Cu α = 0,00393/°C. 90 °C → R = 1,275×R₂₀.
- Fréquence (Effet peau/proximité) : R_ac = R_dc × (1 + k_s + k_p).
- Connexions : Une cosse défectueuse ajoute 0,1–1 mΩ — équivalent à des mètres de fil.
Règle de conception : Maximisez le rayon (dans limites coût/encombrement) pour minimiser R. Mais rappelez-vous : la terminaison est souvent le point de plus haute résistance du circuit.