Résonance dans les circuits LCR : quand les réactances s'annulent

La résonance dans un circuit LCR (RLC) série ou parallèle se produit lorsque la réactance inductive (X_L) est égale à la réactance capacitive (X_C). À cette fréquence, les composantes réactives s'annulent, laissant une impédance purement résistive (série) ou une admitance purement conductive (parallèle).

Fréquence de résonance

f₀ = 1 / (2π√(LC)) (identique pour série et parallèle idéaux)

• X_L = 2πfL
• X_C = 1 / (2πfC)
• À f₀ : X_L = X_C → ω₀L = 1/(ω₀C)

Résonance série (résonance de tension)

• Impédance : Z = R + j(X_L - X_C) → Z_min = R à la résonance.
• Courant : Maximum (I = V/R). Limité uniquement par la résistance.
• Tensions aux bornes de L et C : V_L = I·X_L, V_C = I·X_C. Peuvent être Q fois la tension source (Q = X_L/R = 1/(ω₀CR)).
• Phase : 0° (tension et courant en phase).
• Facteur de puissance : 1 (unité).

Résonance parallèle (résonance de courant / anti-résonance)

• Admittance : Y = 1/R + j(ωC - 1/ωL) → Y_min = 1/R à la résonance.
• Impédance : Z_max = R (résistance dynamique, R_p).
• Courant de ligne : Minimum (I = V/R).
• Courant circulant (L ↔ C) : I_circ = Q × I_ligne. Peut être très important.
• Phase : 0°.

Facteur de qualité (Q) — sélectivité de la résonance

Q = f₀ / BW (BP = bande passante à -3 dB)

• Série : Q = ω₀L / R = 1 / (ω₀CR)
• Parallèle : Q = R / (ω₀L) = ω₀CR
• Q élevé → bande passante étroite, forte amplification tension/courant, haute sélectivité.

Non-idéalités pratiques

• Résistance série équivalente (ESR) du C, DCR de L → définissent le R minimal, limitent Q.
• Capacité parasite de l'inductance → fréquence d'auto-résonance (SRF).
• Effet de peau / effet de proximité : R augmente avec √f.
• Pertes dans le noyau (ferrite/fer) : R_noyau dépendant de la fréquence.

Applications

Application	Topologie	Objectif
Accord RF (Récepteur/Émetteur radio)	Parallèle (réservoir)	Sélectionner une fréquence, rejeter les autres
Filtres FI (Céramique/SAW/Quartz)	Série/Parallèle	Sélectivité de canal
Oscillateurs (Colpitts, Hartley, Pierce)	Réservoir parallèle	Définir la fréquence via le critère de Barkhausen
Transfert d'énergie sans fil	Série-Série / Série-Parallèle	Maximiser le produit kQ pour l'efficacité
Correction du facteur de puissance	Parallèle C	Annuler la réactance inductive à la fréquence secteur
Filtre réjecteur (Twin-T)	Série + Parallèle	Rejeter une fréquence unique (ronflement)
Bobine Tesla	Série (primaire) + Parallèle (secondaire)	Haute tension par élévation résonnante

Équations de conception - Référence rapide

• f₀ : 1 / (2π√(LC))
• Z série : R + j(ωL - 1/ωC)
• Z parallèle : (R || jωL || 1/jωC)
• Q (Série) : ω₀L / R
• Q (Parallèle) : R / (ω₀L)
• V_L,C (Série) : Q × V_in
• I_circ (Parallèle) : Q × I_in

Conclusion

La résonance est l'annulation des réactances inductive et capacitive. En série, elle minimise l'impédance → courant maximum. En parallèle, elle maximise l'impédance → courant de ligne minimum. Le facteur Q détermine la sélectivité et l'amplification tension/courant. La maîtrise de la résonance LCR est fondamentale pour la RF, l'électronique de puissance, les filtres et les oscillateurs.