Capacité de canal d'un canal gaussien bande-limitée : Théorème Shannon-Hartley
Le débit de données théorique maximal pour un canal à bande passante limitée avec bruit blanc additif gaussien (AWGN) est donné par le théorème de Shannon-Hartley :
Formule
C = B × log₂(1 + S/N)
Variables
- C = Capacité du canal (bits par seconde, bps)
- B = Bande passante (Hertz, Hz)
- S = Puissance moyenne du signal (Watts)
- N = Puissance moyenne du bruit (Watts)
- S/N = Rapport signal/bruit (linéaire, pas dB)
- log₂ = Logarithme base 2
Points clés
- Compromis bande passante & SNR : Vous pouvez augmenter la capacité en élargissant la bande passante ou en améliorant le SNR.
- Rendements décroissants : La capacité croît logarithmiquement avec le SNR. Doubler le SNR n'ajoute que 1 bit/s/Hz.
- Limite bande passante infinie : Quand B → ∞, C → (S/N₀) log₂(e) ≈ 1,44 × (S/N₀), où N₀ = densité spectrale de puissance du bruit (W/Hz).
- Inatteignable en pratique : Les codes réels (LDPC, Turbo, Polaire) approchent à 0,5–1 dB de la limite de Shannon, mais pertes implémentation, fading, interférences, bruit non-gaussien réduisent le débit.
Exemple travaillé
Canal : B = 10 kHz, SNR = 10 dB
- Convertir SNR en linéaire : 10 dB = 10^(10/10) = 10
- C = 10 000 × log₂(1 + 10) = 10 000 × log₂(11) ≈ 10 000 × 3,459 = 34,6 kbps
Formes connexes
- Efficacité spectrale : η = C/B = log₂(1+SNR) (bits/s/Hz)
- Forme Eb/N₀ : C = B log₂(1 + (Eb/N₀) × (C/B)) → utilisée pour design modulation/codage
C'est la limite fondamentale — aucun schéma de codage ne peut la dépasser. Tous les systèmes pratiques opèrent en dessous.